Отлавливаете - руками или кошколовкой. Потом ветеринару желательно показать - пощупает хотя бы лимфоузлы, в рот заглянет, на лишай просветит. Это если внешне здоров.
Затем несете домой. До этого Ваши животные должны быть привиты. Может быть так, что котенок является носителем и ему ничего, а Ваши заболеют. Самого котенка сажаете, например, в клетку, которую купите или одолжите у волонтеров. Желательно неделю-другую покарантинить. Ну хотя бы в отдельной комнате подержать котенка.... Хотя на практике на карантин многие "забивают". Через неделю, если котенок не слег, можно заняться его пристройством. Делаете хорошие фото, составляете текст и размещаете в куче зоозащитных и прочих сообществ в контакте, плюс авито и т.п. , если есть желание. Образцы объявлений, а также список групп для размещения Вы найдете в любой зоозащитной группе. После этого ждете звонков или писем, задаете вопросы, чтобы узнать что за люди. Образцы анкет (вопросы можно задавать не в форме бланка, а в беседе, непринужденно) также в любой группе есть. Ну а затем отдаете котенка людям, которые Вам понравились и возникло ощущение, что эти люди котенка не обидят. Чего стоит опасаться также прочитаете в группах или здесь на форуме. Первый сложно, дальше схема понятна. Также будьте готовы к тому, что котенка может никто не захотеть взять и он у Вас вырастет и останется. Это может быть печальной обузой, а может быть Вы и сами не захотите его отдавать. Если ситуация повторится несколько раз, то скоро Вы станете как все здесь - с 5-7-10-15 кошками

)) Удачи!